Graph 90+E : Vecteurs

Définition des vecteurs

• Pour pouvoir travailler avec des vecteurs, il faut tout d’abord les définir.

  Dans le menu RUN-MAT (Graph 35+E II) / Exe-Mat (Graph 90+E), nous allons sélectionner les matrices et les vecteurs:

  

  

  e {MAT/VCT} (Graph 90+E) / {MAT} (Graph 35+E II)

  u {M ⇔ V} : basculer des matrices aux vecteurs

  Nous allons ensuite déclarer nos vecteurs par leur dimension :

  e {DIM} : dimension

• Nous entrons alors les dimensions du vecteur \vec{A}: 3 lignes (m) et 1 colonne (n)

  Puis, nous validons avec la touche l.

• Nous pouvons maintenant entrer les coordonnées du vecteur \vec{A} dont le nom est affiché en haut à gauche de l’écran.
  Nous pourrons renouveler l’opération pour les autres vecteurs:

  \vec{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ √3 \\ 0 \\\end{pmatrix} , \vec{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

  A l’aide de la touche l, revenons à l’écran principal.

Opérations sur les vecteurs

• Multiplication d'un vecteur par un scalaire

  Nous pouvons alors travailler avec les vecteurs créés grâce la touche i puis w {MAT/VCT} (Graph 90+E) / {MAT} (Graph 35+E II) et 2 fois la touche u.

  

  

  

  Nous pouvons vérifier le vecteur \vec{C} en pressant les touches q {Vct} puis a C.

  Nous pouvons aussi déterminer les coordonnées du vecteur issu de la multiplication du vecteur \vec{C} par un scalaire (-3).

• Addition de vecteurs

  La calculatrice permet évidemment d’additionner des vecteurs.

• Produit scalaire de 2 vecteurs

  Nous pouvons aussi calculer le produit scalaire de 2 vecteurs. Pour cela, appuyer sur w {DotP(}.

  La calculatrice permet de déterminer l’angle formé par 2 vecteurs : r {Angle( } : angle formé par 2 vecteurs.

  

  Remarque : l’unité de l’angle dépendra des réglages du SETUP (radian, degré ou grade) ; indication en haut à gauche de l’écran.

• Produit vectoriel de 2 vecteurs

  Nous pouvons déterminer le produit vectoriel de 2 vecteurs en appuyant sur la touche e {Cross( }.

  Nous obtenons alors les coordonnées d’un vecteur orthogonal direct aux vecteurs \vec{A} et \vec{B}.

• Vecteur unitaire colinéaire à un autre

  Nous pouvons aussi construire le vecteur unitaire colinéaire au vecteur \vec{C} et de même sens. Pour cela, il faudra presser la touche y {UnitV( }.

  Après avoir pressé la touche u, nous allons calculer la norme du vecteur \vec{C}: q {Norm( }.

  

  

• La calculatrice permet aussi de déterminer les coordonnées d’un point après avoir effectué des transformations géométriques.
  Pour nos exemples, nous choisirons un point P : P = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
  et son vecteur associé \overrightarrow{V} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
  Prenons le cas d’une translation de vecteur directeur \overrightarrow{T} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} .
  Déclarons alors le vecteur \overrightarrow{V} et la matrice T dans la calculatrice.
  Il nous suffit alors d’effectuer l’addition de la matrice T et du vecteur \overrightarrow{V} pour obtenir les coordonnées du point P’ image du point P par la transformation.
  Remarque : dans le cas d’une translation, il possible d’utiliser un vecteur plutôt qu’une matrice.

• Prenons le cas d’une rotation autour de 0 et d’angle π/3  radians.

  Déclarons alors la matrice de rotation dans la calculatrice :

  R =\begin{pmatrix} cos \frac{\pi}{3} & -sin \frac{\pi}{3} \\ sin \frac{\pi}{3} & cos \frac{\pi}{3}\end{pmatrix}

  Il nous suffit alors d’effectuer le produit de la matrice R par le vecteur \overrightarrow{V}  pour obtenir les coordonnées du point P’ image du point P par la transformation.

• Prenons le cas des symétries par rapport à l’axe des abscisses et par rapport à l’axe des ordonnées.

  Déclarons alors les matrices de symétrie dans la calculatrice :

  Symétrie par rapport à  : (Ox): X= \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}

  Symétrie par rapport à  : (Oy): Y= \begin{pmatrix} -1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

  Il nous suffit alors d’effectuer le produit de la matrice  puis  par le vecteur  pour obtenir les coordonnées du point  image du point  par la transformation.