Graph Light : Menu Probabilités

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Appuyer sur la touche ACCUEIL w pour accéder aux menus de la calculatrice. Se positionner à l’aide du pavé directionnel ER!$ sur l’icône Probabilités pour la mettre en
surbrillance. Valider à l’aide de la touche B ou |.

On peut travailler sur plusieurs lois avec la calculatrice : loi Binomiale, Normale et de Poisson.

Dans nos exemples, on utilise la loi Binomiale de paramètres n=10 et p=0,2, c’est-à-dire 10 répétitions avec une probabilité d’obtenir un succès égale à 0,2 : B(10 ;0,2).

Calculs de la probabilité d’obtenir un nombre exact de succès (valeur unique) :

Se positionner sur Binomiale P(X=) puis sur Valeur unique, valider à l’aide de la touche B ou |. Entrer le nombre de succès choisi 4, le nombre de répétitions (10) puis la probabilité d’un succès (0.2). Valider à l’aide de la touche B ou |. 

On obtient alors la probabilité d’obtenir 4 succès parmi 10 tentatives avec une probabilité de succès de 0,2 : P(X=4)=0,088 au millième près. Ressortir du calcul précédent en pressant 2 fois la touche `.

Calculs de la probabilité d’obtenir un nombre exact de succès (plusieurs valeurs) :

Se positionner sur Binomiale P(X=) puis sur Liste de valeurs, valider à l’aide de la touche B ou |.

On va calculer les probabilités pour toutes les possibilités. Il y a 10 répétitions il peut donc y avoir 0 ; 1 ;… ;9 ;10 succès. On saisit ces nombres avec les touches 0123456789 puis on valide à l’aide de la touche B ou |. Valider le tableau à l’aide de la touche B ou |. Entrer ensuite les paramètres de la loi (N=10 et p=0,2) puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Il est possible de visualiser les probabilités à l’aide des touches E, et R, !, et $.

Calculs de la probabilité d’obtenir un nombre de succès inférieur ou égal à une valeur donnée (valeur unique) :

Se positionner sur Binomiale puis sur Valeur unique, valider à l’aide de la touche B ou |. Entrer ensuite les paramètres de la loi (N=10 et p=0,2) puis valider à l’aide de la touche B ou |.

On obtient alors la probabilité d’obtenir jusqu’à 4 succès parmi 10 tentatives avec une probabilité de succès de 0,2.

Calculs de la probabilité d’obtenir un nombre de succès inférieur ou égal à une valeur donnée (plusieurs valeurs) :

Se positionner sur Binomiale  puis sur Liste de valeurs, valider à l’aide de la touche B ou |.

On va calculer toutes les possibilités pour cela saisir les nombres de 0 à 10 puis valider à l’aide de la touche B ou |. Valider le tableau à l’aide de la touche B ou |. Entrer ensuite les paramètres de la loi (N=10 et p=0,2) puis valider à l’aide de la touche B ou | et valider le calcul à l’aide de la touche B ou |.

On obtient toutes les possibilités on remarquera que la dernière probabilité est égale à 1 en effet sur 10 tentatives l’évènement « avoir un nombre de succès inférieur ou égal à 10 » est un événement certain. Il est possible de visualiser les probabilités à l’aide des touches E, et R, $ et $.

Dans nos exemples, on considère une variable aléatoire X qui suit une loi Normale de paramètres \mu=90 et \sigma²=20 : N(90,20) .

Remarques

• P(X=k)=0 pour tout nombre réel k, en effet P(X=k)=\int_k^kf(x)dx où f est la densité de la loi normale de paramètres \mu et \sigma², il en découle les deux remarques suivantes.
• Le calcul P(X=k)=0 n’est donc pas présent sur la calculatrice et a été remplacé par des calculs avec la densité de la loi normale.
• P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b) en effet                                                                                                                                         P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)+P(X=a) + P(X=b) =P(a<X<b)+0+0

Calcul de l’image d’une valeur par la fonction de densité de  :

Se positionner sur Densité Normale à l’aide des touches E et R puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Entrer l’abscisse choisie 85 puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Entrer la moyenne de la loi Normale 90 puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Entrer l’écart type de la loi Normale s20) puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Lancer le calcul à l’aide de la touche B ou |. On obtient l’image de 85 par la fonction de densité de X comme le montre le graphique suivant de la calculatrice Graph Math+

Calcul de la probabilité que X soit compris entre deux valeurs :

Pour comprise entre deux valeurs :
Se positionner sur Normale P(\leq X\leq) à l’aide des touches Eet R puis valider dans à l’aide de la touche B ou |.

Entrer la valeur minimale de la variable : 80, la valeur maximale de la variable : 95, la moyenne : 90 et l’écart type s20). Lancer le calcul à l’aide de la touche B ou |.

Nous obtenons alors la valeur de la probabilité que la variable soit comprise entre 80 et 95, ce qui correspond à l’aire sous la courbe de la fonction de densité de la loi comprise entre x=85 et x=95 comme le montre le graphique suivant.

Calcul de la probabilité que X soit inférieure à une valeur donnée :

Se positionner sur Normale P(\leq X\leq) à l’aide des touches E et R puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Entrer comme valeur minimale : p1K99), entrer la valeur maximale : 80, entrer la moyenne : 90 enfin entrer l’écart type : s20). Lancer le calcul à l’aide de la touche B ou |. On obtient alors la valeur de la probabilité que la variable soit inférieure à 80.

Calcul de la probabilité que X soit supérieure à une valeur donnée :

Se positionner sur Normale P(\leq X\leq) à l’aide des touches E et R puis valider dans à l’aide de la touche B ou |.

Entrer la valeur minimale de la variable, 95, puis valider à l’aide de la touche B ou |. Entrer la valeur maximale de la variable : 1K99), la moyenne de la loi Normale : 90, puis l’écart type de la loi Normale s20). Lancer le calcul à l’aide de la touche B ou |. On obtient alors la valeur de la probabilité que la variable aléatoire X soit supérieure à 95.

Pour une valeur  donnée, calcul de la valeur  telle que la probabilité que X soit inférieure à  soit environ égale à .

Se positionner sur Inverse normale à l’aide des touches E et R
puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Entrer la valeur de la probabilité choisie : 0.95, la moyenne de la loi Normale : 90 puis l’écart type de la loi Normale casiofonts name= »ClassWiz-CW02″]s20)/casiofonts]. Lancer le calcul à l’aide de la touche B ou |.

On obtient alors la valeur b à laquelle la variable doit être inférieure pour obtenir la probabilité choisie : P(X\leq 9735600923)\approx 0,95

Remarque : on peut vérifier le résultat en faisant le calcul dans l’autre sens P(-1\times 10^99\leq X\leq 9735600923)\approx 0,95

Dans nos exemples, nous utiliserons la loi de Poisson de paramètre \lambda = 6.

Calculs de la probabilité que la variable prenne une valeur précise (valeur unique) :

Se positionner sur Poisson P(X=) à l’aide des touches E et R puis
valider dans à l’aide de la touche B ou |.

Se positionner sur Valeur unique, entrer le nombre 8 , puis la valeur du paramètre 6. Valider le calcul à l’aide de la touche B ou |.

On obtient alors la probabilité d’obtenir la valeur 8 pour la variable X suivant la loi de Poisson de paramètre \lambda = 6 : P(X=8)\approx 0.103.

Calculs de la probabilité que la variable prenne une valeur précise (plusieurs valeurs) :

Se positionner sur Poisson P(X=) puis sur Liste de valeurs à l’aide des touches E et R
puis valider à l’aide de la touche B ou |.

On va calculer la probabilité de 0 à 8, valider le tableau à l’aide de la touche B ou |.

Entrer la valeur de lambda : 6, puis valider à l’aide de la touche B ou |. Valider le calcul à l’aide de la touche B ou |.

On obtient la probabilité pour chacune des valeurs prises par la variable X suivant la loi de Poisson de paramètre \lambda = 6.
Il est possible de visualiser les probabilités à l’aide des touches E,R, ! et $.

Calculs de la probabilité que la variable soit inférieure à une valeur précise (valeur unique) :

Se positionner sur Poisson puis sur Valeur unique à l’aide des touches E et R puis valider à l’aide de la touche B ou |.

Entrer le nombre 8 puis la valeur du paramètre lambda : 6. Valider à l’aide de la touche B ou |.

On obtient alors la probabilité d’obtenir des valeurs inférieures à 8 pour la variable suivant la loi de Poisson :P(X\leq 8\approx 0,847.

Calculs de la probabilité que la variable soit inférieure à une valeur précise (plusieurs valeurs) :

Se positionner sur Poisson P(X≤) puis sur Liste de valeurs à l’aide des touches E et R.

On saisit les valeurs de 0 à 8 avec les touches 012345678. Valider le tableau à l’aide de la touche B ou |. Entrer la valeur de lambda : 6, puis valider à l’aide de la touche B ou |.

On obtient les probabilités que la variable X suivant la loi de Poisson prenne des valeurs inférieures à chacune des valeurs choisies. Il est possible de visualiser les probabilités à l’aide des touches E, R, ! et $.